Нерівності
Два вирази або числа, з’єднані знаком \(>\), \(<\), \(\geq\) або \(\leq\), утворюють нерівність.
Нерівності, що містять знаки \(>\) або \(<\), називаються строгими, а нерівності, що містять знаки \(\geq\) або \(\leq\), називаються нестрогими.
Вказівки до розв’язування нерівностей з однією змінною
1. Нерівності з однією змінною мають вигляд:
Розв’язком нерівності називається множина значень змінної, при яких дана нерівність буде правильною числовою нерівністю.
Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються.
Основна ідея розв’язування нерівності полягає в заміні нерівності більш простою, але рівносильною заданій.
2. При розв’язуванні нерівності використовують такі правила перетворення нерівності в рівносильну:
а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї її частини в іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;
б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;
в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;
г) якщо для одних і тих самих значень справедливі нерівності
то для тих самих значень \(x\) виконується нерівність
3. Нехай задана нерівність має вигляд
(замість знака \(>\) можуть бути знаки \(<\), \(\geq\), \(\leq\), а функція в знаменнику може бути сталою) або вона приведена до цього вигляду за допомогою правил вказівки 2.
Для розв’язування нерівності застосовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в тому, що:
а) на числову вісь наносять точки
що розбивають її на проміжки, в яких вираз
визначено і зберігає знак (плюс або мінус). Такими точками можуть бути корені рівнянь
Відповідні цим кореням точки позначають на числовій осі: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють задану нерівність, а світлими кружками — точки, що не задовольняють її;
б) відшукують і позначають на числовій осі знак виразу
для значень \(x\), які належать кожному з одержаних проміжків. Якщо функції
є многочленами і не містять множників виду
то достатньо визначити знак функції
в будь-якому такому проміжку, а в решті проміжків знаки плюс і мінус будуть чергуватися.
Якщо ж у чисельнику і знаменнику дробу
є множник виду
то, покладаючи \(x \ne a,\) ділять обидві частини заданої нерівності на множник
додатний при всіх значеннях \(x \ne a,\) (дивіться вказівку 2), і безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє значення \(x=a\) задану нерівність.
4. Розглянемо розв’язування квадратної нерівності
у випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена
Якщо \(a > 0\), то нерівність (1) виконується при всіх значеннях \(x\).
Якщо ж \(a < 0\), то нерівність не виконується ні при якому значенні \(x\).
5. Ірраціональна нерівність
рівносильна системі нерівностей
6. Ірраціональна нерівність
рівносильна сукупності двох систем нерівностей
\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ { \Big( \sqrt{f(x)} \Big)}^2 > { \Big( g(x) \Big)}^2 \end{cases}\] | \[(5)\] |
\[\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}\] |
7. Показникова нерівність
При \(a > 1\) рівносильна нерівності
а при \(0 < a < 1\) — нерівності
8. Логарифмічна нерівність
При \(a > 1\) рівносильна системі нерівностей
а при \(0 < a < 1\) — системі нерівностей
Джерело
- Збірник задач з математики за редакцією М.І.Сканаві (3-тє видання, Київ, 1996)